Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=2S₂+4，a₅=36．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）设b_n=S_n-1（n∈N^*），T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，布列首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得a_n，S_n；
（Ⅱ）b_n=4n²-1=（2n-1）（2n+1）⇒

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），于是可求得T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

．

解答： 解：（Ⅰ）因为S₃=2S₂+4，
所以a₁-d=-4，
又因为a₅=36，
所以a₁+4d=36…2分
解得d=8，a₁=4，…3分
所以a_n=4+8（n-1）=8-4…4分
S_n=

n(4+8n-4)

2

=4n²…6分
（Ⅱ）b_n=4n²-1=（2n-1）（2n+1）…7分
∴

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）…9分
T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）…10分
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出列项法的考查，属于中档题．