Question

已知

a

=（cosx，

3

sinx），

b

=（2cosx，2cosx），f（x）=

a

•

b

+m
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为2，求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：平面向量及应用

分析：（I）f（x）=

a

•

b

+m=2cos2x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
可得f（x）的最小正周期T=

2π

2

．由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解出即可得出单调递增区间．
（II）由x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，因此当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时函数f（x）取得最小值2，可得2×(-

1

2

)+1+m=2，解得m．当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时函数f（x）取得最大值．

解答： 解：（I）f（x）=

a

•

b

+m=2cos2x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（II）∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
因此当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时函数f（x）取得最小值2，∴2×(-

1

2

)+1+m=2，解得m=2．
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时函数f（x）取得最大值，f(

π

6

)=2+1+2=5．

点评：本题考查了三角函数的单调性周期性及其最值、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．