Question

已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，
（1）求f（-1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）当f（16）=2时，解不等式f（x）+f（6x-5）＜1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=x₂=1，即有f（1）=0，令x₁=x₂=-1，即有f（-1）=0；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再令x₁=x，x₂=-1，代入条件即可得证；
（3）令0＜x₁＜x₂，再由条件和单调性定义，即可得证；
（4）由f（16）=2，得f（4）=1，再由（2）（3）的结论，即可得到不等式，解出即可．

解答： （1）解：对定义域内任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，则f（1）=2f（-1），即有f（-1）=0；
（2）证明：函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，
令x₁=x，x₂=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
则f（x）是偶函数；
（3）证明：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
由x＞1，f（x）＞0，得f（

x2

x1

）＞0，
则有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）是增函数；
（4）解：由f（16）=1，得f（16）=2f（4）=2，
∴f（4）=1
则f（x）+f（6x-5）＜1．
即为：f（6x²-5x）＜f（4），
∵f（x）在（0，+∞）是增函数；
∴

6x2-5x＞0 6x2-5x＜4

即6x²-5x＜4，即（2x+1）（3x-4）＜0
解得-

1

2

＜x＜0，或

5

6

＜x＜

4

3

，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）是减函数；
∴f（6x²-5x）＜f（4）=f（-4），
∴

6x2-5x＞-4 6x2-5x＜0

，
解得0＜x＜

5

6

，
故原不等式的解集为（-

1

2

，0）∪（0，

5

6

）∪（

5

6

，

4

3

）．

点评：本题考查了函数的性质，函数的奇偶性，函数单调性，不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题