Question

已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）和（2）

【解析】

试题分析：（1）利用导函数大于零求单调增区间：因为，所以，令，因为，得或，所以的单调增区间为和（2）双变量不等式恒成立问题，先对不等式进行等价变形，转化为对应函数增减性问题：不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，即对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，然后分别求对应函数增减性条件：在上恒成立，在恒成立，得在恒成立，；在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，，所以实数的取值范围为．

试题解析：（1）因为，

所以， 2分

令，因为，得或， 5分

所以的单调增区间为和； 6分

（2）因为对任意且，均有成立，

不妨设，根据在上单调递增，

所以有对恒成立， 8分

所以对，恒成立，

即对，恒成立，

所以和在都是单调递增函数， 11分

当在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，

解得． 13分

当在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上递减，在上单调递增，

所以在上取得最小值，

所以， 15分

所以实数的取值范围为． 16分

考点：不等式恒成立问题