【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
,证明:
.
【答案】(1) 当时,
在
上单调递增;
在上单调递减;
时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减; 在
上单调递增.
(2)见解析.
【解析】分析:(1)由,分别讨论当
时,
或
讨论导函数的正负从而可得函数的单调性;
(2)由(1)知,且
为方程
的两个根,由根与系数的关系
,其中
,可化简
,令
,进而求导求最值即可证得.
详解:(1) .
令,
,对称轴为
.
①当时,
,所以
在
上单调递增.
②当或
时,
.此时,方程
两根分别为
,
.
当时,
,当
时,
,当
,
,所以
在
上单调递增, 在
上单调递减.
当时,
,当
时,
,当
,
, 所以
在
上单调递减, 在
上单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增;
在上单调递减;
时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减; 在
上单调递增.
(2)由(1)知,且
为方程
的两个根.
由根与系数的关系,其中
.
于是
.
令,
,
所以在在
上单调递减,且
.
∴,即
,
又,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
,
.
(Ⅰ)若,求
的极值;
(Ⅱ)若函数的两个零点为
,记
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)极大值为,无极小值;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)先判断函数在
上的单调性,然后可得当
时,
有极大值,无极小值.(Ⅱ)不妨设
,由题意可得
,即
,又由条件得
,构造
,令
,则
,利用导数可得
,故得
,又
,所以
.
详解:(Ⅰ),
,
由得
,
且当时,
,即
在
上单调递增,
当时,
,即
在
上单调递减,
∴当时,
有极大值,且
,无极小值.
(Ⅱ)函数
的两个零点为
,不妨设
,
,
.
,
即,
又,
,
,
.
令,则
,
在
上单调递减,
故,
,
即,
又,
.
点睛:(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大(小)值、函数的变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的大体图象,然后通过数形结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
(2)证明不等式时常采取构造函数的方法,然后通过判断函数的单调性,借助函数的最值进行证明.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
).以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为:
.
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线
交于不同的两点
,若
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
,(其中
,
为自然对数的底数,
……).
(1)令,若
对任意的
恒成立,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,设为整数,且对于任意正整数
,
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:
表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:
如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动,投票规则是一人一票,高一(1)班44名学生和高一(7)班45名学生的投票结果如下表(无废票):
语文 | 数学 | 外语 | 物理 | 化学 | 生物 | 政治 | 历史 | 地理 | |
高一(1)班 | 6 | 9 | 7 | 5 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 |
高一(7)班 | 6 | 4 | 5 | 6 | 5 | 2 | 3 |
该校把上表的数据作为样本,把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.
(Ⅰ)如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高,求的所有取值;
(Ⅱ)从高一(1)班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取位同学,设随机变量
为投票给地理学科的人数,求
的分布列和期望;
(Ⅲ)当为何值时,高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?(结论不要求证明)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】新高考最大的特点就是取消文理分科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这
科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文(选择政治、历史、地理)的选择是否与性别有关,从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生,女生各
人进行模拟选科.经统计,选择全文的人数比不选全文的人数少
人.
(1)估计在男生中,选择全文的概率.
(2)请完成下面的列联表;并估计有多大把握认为选择全文与性别有关,并说明理由;
附:,其中
.
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