Question

如图，三棱柱中，所有棱长均为2，，，平面⊥平面，分别是上的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：【解析】
（1）方法一：如图取中点，取中点，连结

则，且，同理，且

故，且

所以四边形是平行四边形， 3分

，又平面，GH平面

平面 5分

方法二：如图，取中点，连结

则，又平面，平面

平面 2分

同理可证平面，又

故平面平面 4分

又平面

故平面 5分

（2）方法一：如（1）方法二所示，取中点，则，

又平面⊥平面，且平面，故平面 7分

从而在平面上的射影为，

故就是直线与平面所成的角． 9分

又,,从而

故， 12分

故直线与平面所成的角等于 13分

方法二：依题意，且平面，平面⊥平面，故平面

从而，又，故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 7分

，同理可得故 8分

取平面的法向量为， 9分

设直线与平面所成角为

则， 11分

又

从而直线与平面所成角为 13分

考点：1、直线与平面平行的判断；2、直线与平面所成的角；3、空间向量在立体几何的应用．