Question

4．根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₁₅
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知函数f（x）=a₂sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是a₁，且函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{6}$对称，求函数f（x）=a₂sin（ωx+φ）在区间[-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知算法语句可知所求为2015个奇数的和；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁=1，a₂=4，得到函数的周期，由对称轴x=$\frac{1}{6}$，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$得到φ，从而求出三角函数解析式，进一步求值域．

解答 解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，a_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
而a₁=1也符合a_n=n²，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n²（n∈N^*，且1≤n≤2014）…..（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁=1，a₂=4，所以函数y=f（x）的最小正周期为1，所以ω=2π，
则f（x）=4sin（2πx+φ）
又函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{6}$对称    
 所以$\frac{π}{3}+$φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈z）
因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$，则f（x）=4sin（2πx+$\frac{π}{6}$）
因为x∈[$-\frac{1}{6}，\frac{1}{3}$]，所以-$\frac{π}{6}$≤2πx+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2πx+$\frac{π}{6}$）≤1
故函数f（x）=a₂sin（ωx+φ）在区间[-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]上的值域是[-2，4]…..（12分）

点评 本题考查了算法语句的认识以及三角函数的性质运用，属于中档题．