Question

15．在直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cos2α\\ y=\frac{1}{2}cosα\end{array}$（α为参数），在极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）求曲线C₂的普通方程
（2）设c₁与c₂相交于A，B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）用极坐标公式，即可把曲线C₂的极坐标方程化为普通方程；
（2）把曲线C₁的参数方程化为普通方程，利用直线与抛物线C₂的方程，
求出直线与抛物线没有交点．

解答 解：（1）将曲线C₂的极坐标方程$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$展开，
得：ρsinθ-ρcosθ=2，
化为普通方程是：y-x=2；①
（2）将C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cos2α}\\{y=\frac{1}{2}cosα}\end{array}\right.$，
∵x=1+2cos²α-1=2cos²α，
y²=$\frac{1}{4}$cos²α，
∴8y²=2cos²α，
化为普通方程是：
y²=$\frac{1}{8}$x②；
所以直线经过该抛物线的焦点F（$\frac{1}{32}$，0）；
由①、②联立，消去x得：
y²-$\frac{1}{8}$y+$\frac{1}{4}$=0；
∴△=${（\frac{1}{8}）}^{2}$-4×$\frac{1}{4}$=-$\frac{63}{64}$＜0，
∴c₁与c₂不会交于两点．

点评 本题考查了直线与抛物线的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是综合题．