Question

10．在直角坐标系xoy中，圆O：x²+y²=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
（1）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求△AMN的面积；
（2）过点P（3，-4）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求 $\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$．

Answer 1

分析 （1）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求出|AM|，|AN|，即可求△AMN的面积；（2）求出sin∠OPE，利用向量的数量积公式，求 $\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$即可．

解答 解：（1）∵A（-2，0），k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，
∴直线AM的方程是：y=2x+4，
直线AN的方程是：y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴圆心O的直线AM的距离d=$\frac{|4|}{\sqrt{5}}$，
从而|AM|=2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵K_AM•K_AN=-1，
∴AM⊥AN，
∴|AN|=2d=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16}{5}$；
（2）∵$|{OP}|=\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}=5$$|{\overrightarrow{PE}}|=\sqrt{P{O^2}-O{E^2}}=\sqrt{21}$，
∴$sin∠OPE=\frac{2}{5}$
又∵$cos∠FPE=cos2∠OPE=1-2{sin^2}∠OPE=\frac{17}{25}$，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=|{\overrightarrow{PE}}||{\overrightarrow{PF}}|cos∠FPE={（\sqrt{21}）^2}•\frac{17}{25}=\frac{357}{25}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．