Question

8．设F₁，F₂为椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF₁F₂是以线段MF₁为底边的等腰三角形，若椭圆C₁的离心率e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]．则双曲线C₂的离心率的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{3}{2}，4}]$
• B． $[{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． （1，4]
• D． $[{\frac{5}{4}，\frac{5}{3}}]$

Answer 1

分析 如图所示，设双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，离心率${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．由双曲线的定义可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，可得$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，利用e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]，即可得出．

解答 解：如图所示，
设双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，离心率${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．
由双曲线的定义可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，
∴$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，
∵e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]，∴$\frac{1}{e}$∈$[\frac{9}{4}，\frac{8}{3}]$，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$∈$[\frac{1}{4}，\frac{2}{3}]$．
∴e₁∈$[\frac{3}{2}，4]$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．