Question

18．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，AC=4，AD=5，SA⊥平面ABCD．
（1）证明：AC⊥平面SAB；
（2）若SA=2，求三棱锥A-SCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥AB，SA⊥AC，由此能证明AC⊥平面SAB．
（2）由V_A-SCD=V_S-ACD，能求出三棱锥A-SCD的体积．

解答 证明：（1）∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
AB=3，AC=4，AD=5，
∴BC²=AB²+AC²，AC⊥AB，
∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，
∵AB∩SA=A，∴AC⊥平面SAB．
解：（2）V_A-SCD=V_S-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×SA$，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA是三棱锥S-ACD的高，
S_△ACD=$\frac{1}{2}×AC×CD$=$\frac{1}{2}×4×3$=6，
∴V_A-SCD=V_S-ACD
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×SA$=$\frac{1}{3}×6×2=4$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．