【题目】已知椭圆,四点,,,中恰有三个点在椭圆上,左、右焦点分别为、.
(1)求椭圆的方程;
(2)过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点,由椭圆的上顶点可求出a,点或的坐标代入椭圆求出b,即可写出椭圆的方程;(2)联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程,利用韦达定理求出两根之和与两根之积,即可利用弦长公式求出,求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程,令求出,代入得到关于k的分式,利用基本不等式可求得最小值.
(1)易知,关于轴对称,一定都在椭圆上,所以一定不在椭圆上,根据题意也在椭圆上,则,
将代入椭圆方程得,
所以椭圆方程为.
(2)由知椭圆的左焦点,
设直线的方程为(),,,的中点为.
联立,可得,
则,,
所以,,
点,
,
垂直平分线方程为:,
令,求得,则,
所以,当且仅当即时取等号,
因此,当,取最小值.
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【题目】已知分别为内角的对边,若是锐角三角形,需要同时满足下列四个条件中的三个:
① ② ③ ④
(1)条件①④能否同时满足,请说明理由;
(2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的的面积.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为抛物线C的焦点.以F为圆心,p为半径作圆,与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线y=kx+1与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,设切线l1,l2的交点为P,求证:△PAB为直角三角形.
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【题目】2019年女排世界杯(第13届女排世界杯)是由国际排联举办的赛事,比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球_,已知这种球的质量指标ξ(单位:)服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以或取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为中国队和美国队,中国队积26分,美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为.
(1)如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在内的排球个数(计算结果取整数)
(2)第10轮比赛中,记中国队取胜的概率为,求出的最大值点,并以作为p的值,解决下列问题.
(i)在第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列;
(ii)已知第10轮美国队积3分,判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,中国队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.
参考数据:,则,
,.
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【题目】2016年春节期间全国流行在微信群里发抢红包,现假设某人将688元发成手气红包50个,产生的手气红包频数分布表如下:
金额分组 | ||||||
频 数 | 3 | 9 | 17 | 11 | 8 | 2 |
(1)求产生的手气红包的金额不小于9元的频率;
(2)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)在这50个红包组成的样本中,将频率视为概率.
①若红包金额在区间内为最佳运气手,求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率;
②随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者,设其手气金额分别为,,求事件“”的概率.
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【题目】已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为、,为椭圆上异于、的动点,且的面积最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)射线与椭圆交于点,过点作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点和点,求的面积的最大值.
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