Question

（文科）已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=120°，则

a2-b2

b

的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、[

  3

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  ]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=2a，在△PF₁F₂中，根据边和角的值，由余弦定理可得：4c²=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn，所以得到mn=4b2≤

(m+n)2

4

=a2，即：4b²≤a²，∴

a2-b2

b2

≥3，所以就能求出

a2-b2

b

的范围了．

解答： 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=2a，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=120°；
∴在△PF₁F₂中，根据余弦定理得：4c²=m²+n²-2mncos120°=m²+n²+mn=（m+n）²-mn=4a²-mn；
∴mn=4a²-4c²=4b²，∵mn≤

(m+n)2

4

=a2；
∴4b²≤a²，∴3b²≤a²-b²，∴

a2-b2

b2

≥3；
∴

a2-b2

b

≥

3

，∴

a2-b2

b

的取值范围是[

3

，+∞)．
故选C．

点评：考查椭圆的定义，余弦定理，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，仅当a=b时取“=“．