Question

5．已知定点F（0，1），定直线l：y=-1，动圆M过点F，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l₁，l₂，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．

解答 解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．
设M（x，y），则有$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}$=|y+1|．
化简得x²=4y．
所以点M的轨迹C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设l_AB：y=kx+1，
代入x²=4y中，得x²-4kx-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}$$•|{{x_1}-{x_2}}|=4（{{k^2}+1}）$．
因为C：x²=4y，即$y=\frac{x^2}{4}$，所以$y'=\frac{x}{2}$．
所以直线l₁的斜率为${k_1}=\frac{x_1}{2}$，直线l₂的斜率为${k_2}=\frac{x_2}{2}$．
因为${k_1}{k_2}=\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}=-1$，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．
因为|AB|=4（k²+1），
所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．