Question

20．在各项都为正数的等比数列{a_n}中，已知a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，则数列{a_n}的通项公式a_n=${2}^{\frac{n+1}{2}}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，可得$（{a}_{n}{q}^{2}）^{2}$+$4{a}_{n}^{2}$=4$（{a}_{n}q）^{2}$，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，
∴$（{a}_{n}{q}^{2}）^{2}$+$4{a}_{n}^{2}$=4$（{a}_{n}q）^{2}$，化为：q⁴-4q²+4=0，
解得q²=2，q＞0，解得q=$\sqrt{2}$．
则数列{a_n}的通项公式a_n=$2×（\sqrt{2}）^{n-1}$=${2}^{\frac{n+1}{2}}$．
故答案为：${2}^{\frac{n+1}{2}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．