Question

11．已知命题P：若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积$S=\frac{1}{2}r（a+b+c）$．试根据命题P的启发，仿P写出关于四面体的一个命题Q：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积$V=\frac{1}{3}R（{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}）$．

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积$V=\frac{1}{3}R（{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}）$．
故答案为若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积$V=\frac{1}{3}R（{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}）$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．