Question

10．设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-3ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{e}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{e}{3}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，分离参数a，问题转化为a≥$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，求出a的范围；求出g（x）的导数，问题转化为y=3a和y=e^x在（1，+∞）有解，求出a的范围，取交集即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，
则f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，
故a≥1；
g（x）=e^x-3ax，g′（x）=e^x-3a，
若g（x）在（1，+∞）上有最小值，
则g（x）在（1，+∞）先递减再递增，
故y=3a和y=e^x在（1，+∞）有解，
而y=e^x＞e，
故3a＞e，a＞$\frac{e}{3}$，
综上，a≥1，
故选：D．

点评 正确把问题等价转化、熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．