Question

8．如果直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数f（x）=1+log_mx（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+b-1）²+（y+a-1）²=25的内部或圆上，那么$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{3}{4}，\frac{4}{3}}]$
• B． $（{0，\frac{3}{4}}]∪[{\frac{4}{3}，+∞}）$
• C． $[{\frac{4}{3}，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：f（x）=1+log_mx恒过一个定点（1，1）；
∴ax+by=7（a＞0，b＞0）过定点（1，1），
∴a+b=7①；
又定点（1，1）在圆（x+b-1）²+（y+a-1）²=25的内部或圆上，
∴（1+b-1）²+（1+a-1）²≤25，
即a²+b²≤25②；
由①②得，3≤a≤4，
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{7}{a}$-1∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]，
故选A．

点评 本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．