Question

16．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为$4（\sqrt{2}+1）$，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为a=$\sqrt{2}$c，及椭圆的定义得到又2a+2c=$4（\sqrt{2}+1）$，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式求得k₁、k₂，把点P（x₀，y₀）在双曲线上，即可证明结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
又2a+2c=$4（\sqrt{2}+1）$，
解得：a=2$\sqrt{2}$，c=2，
∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴椭圆的焦点坐标为（±2，0）．
∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），
则k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，
又点P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，即y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，等轴双曲线的求法，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．