Question

11．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项a₁和公比q表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；
（2）求出b_n的表达式后，要求其前n项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．

解答 解：（1）∵由a₃+2是a₂、a₄的等差中项，得a₂+a₄=2（a₃+2），
因为a₂+a₃+a₄=28，所以a₂+a₄=28-a₃，
所以2（a₃+2）=28-a₃，解得a₃=8，
所以a₂+a₄=20，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}\\}\end{array}\right.$，
又{a_n}为递增数列，所以q＞1．
所以a₁=2，q=2，所以a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ．_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$2ⁿ═-n•2n．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
则S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值为6．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的前n项和，考查学生的运算能力．