Question

14．若数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，则a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$等于（　　）

• A． 2n²+2n
• B． n²+2n
• C． 2n²+n
• D． 2（n²+2n）

Answer 1

分析 利用数列递推关系可得a_n，再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，∴n=1时，$\sqrt{{a}_{1}}$=2，解得a₁=4．
n≥2时，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+n-1，
相减可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=2n，∴a_n=4n²．n=1时也成立．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=4n．
则a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=4（1+2+…+n）=4×$\frac{n（1+n）}{2}$=2n²+2n．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．