Question

4．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．若倾斜角为$\frac{3π}{4}$且经过坐标原点的直线l与圆E相交于点A（A点不是原点）．
（1）求点A的极坐标；
（2）设直线m过线段OA的中点M，且直线m交圆E于B，C两点，求||MB|-|MC||的最大值．

Answer 1

分析 （1）（解法一）直线l的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，可得：点A的极角$θ=\frac{3π}{4}$，代入圆E的极坐标方程ρ．
（解法二）由已知得直线的l的直角方程为y=-x，圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，联立得A点直角坐标为（-2，2），化为极坐标．
（2）（解法一），第一（1）问用极坐标做的）由（1）得线段OA的中点M的极坐标是$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得M的直角坐标为（-1，1），圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，可得圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，设直线m的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+y²-4y=0，利用根与系数的关系即可得出．
（解法二）由（1）知A（2，-2），则M（1，-1）${|{MB}|_{man}}=|{ME}|+2=2+\sqrt{2}$，${|{MC}|_{mIn}}=2-|{ME}|=2-\sqrt{2}$，即可得出．
（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2，2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1，1），圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，当BC⊥x轴时，直线BC方程为x=-1，联立解得B，C，分类讨论即可得出．

解答 解：（1）（解法一）∵直线l的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，∴点A的极角$θ=\frac{3π}{4}$…（1分）
代入圆E的极坐标方程得$ρ=2\sqrt{2}$…（2分）∴点A的极坐标$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$…（3分）
（解法二）由已知得直线的l的直角方程为y=-x①，
圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0②…（1分）
（写对其中一个方程均给1分）
联立①②得A点直角坐标为（-2，2），…（2分）
由$ρ=\sqrt{{x^2}+{y^2}}，tanθ=\frac{y}{x}$得A点极坐标A$（{2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}}）$…（3分）
（不写公式不扣分）
（2）（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由（1）得线段OA的中点M的极坐标是$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，∴M的直角坐标为（-1，1）…（4分）∵圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0…（5分）
设直线m的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）…（6分）
代入x²+y²-4y=0得t²-2t（sinα+cosα）-2=0．∵△=4（sinα+cosα）²+8＞0
，设B，C的参数依次为t₁，t₂，则t₁+t₂=2（sinα+cosα）…（7分）∴||MB|-|MC||=||t₁|-|t₂||=|t₁+t₂|…（8分）=2|sinα+cosα|=$2\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）|$…（9分）∴||MB|-|MC||的最大值为$2\sqrt{2}|$（此时直线m的倾斜角为$\frac{π}{4}$）…（10分）
（解法二）由（1）知A（2，-2），则M（1，-1）…（1分）${|{MB}|_{man}}=|{ME}|+2=2+\sqrt{2}$…（3分）${|{MC}|_{mIn}}=2-|{ME}|=2-\sqrt{2}$…（5分）$|{|{MB}|-|{MC}|}|≤{|{MB}|_{max}}-{|{MC}|_{min}}=2\sqrt{2}$…（6分）
（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2，2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1，1）…（4分）∵圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为x²+y²-4y=0…（5分）
当BC⊥x轴时，直线BC方程为x=-1…（6分）（会分类就给1分）$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}}\right.$或$\left\{{，}\right.\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}$
不妨设$B（-1，2-\sqrt{3}），C（-1，2+\sqrt{3}）$$||MB|-|MC||=|{|{2-\sqrt{3}-1}|-|{2+\sqrt{3}-1}|}|=|{\sqrt{3}-1-1-\sqrt{3}}|=2$…（7分）
当BC与x轴不垂直时，设直线BC方程为y-1=k（x+1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x+1）}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.$消y得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-3=0${x_1}+{x_2}=-\frac{{2k（{k-1}）}}{{1+{k^2}}}，\begin{array}{l}{\;}&{{x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-2k-3}}{{1+{k^2}}}，}\end{array}$…（8分）
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），$|{MB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+1}|，|{MC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}+1}|$$||MB|-|MC||=|{\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+1}|-\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}+1}|}|$…（9分）
$\begin{array}{l}||MB|-|MC||=\sqrt{1+{k^2}}|{|{{x_1}+1}|-|{{x_2}+1}|}|\\=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+{x_2}+2}|\end{array}$（若会用两点间距离公式给1分）=$\sqrt{1+{k^2}}|{-\frac{{2k（{k-1}）}}{{1+{k^2}}}+2}|=\frac{{|{2（{k+1}）}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（8分）
=$2\sqrt{1+\frac{2k}{{1+{k^2}}}}≥2\sqrt{1+\frac{2k}{1k}}$…（9分）
=$2\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．