Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：${S_n}={n^2}+2n，n∈{N^*}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n，求证：${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通过数列的递推公式即可求出通项公式，
（2）通过裂项求和和放缩法即可证明．

解答 解：（1）第一类解法：
当n=1时，a₁=3，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
而a₁=3也满足a_n=2n+1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1
第二类解法：a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1
第三类解法：a₁=S₁=3； a₂=S₂-S₁；a_n=2n+1
第四类解法：
由S_n=n²+2n可知{a_n}等差数列
且a₁=3，d=a₂-a₁=S₂-S₁-3=2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（2）证明：∵a_n=2n+1，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
则${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$$＜\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，裂项、并项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．