Question

16．若数列{a_n+1-a_n}是等比数列，且a₁=1，a₂=2，a₃=5，则a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得数列{a_n+1-a_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{5-2}{2-1}$=3，从而a_n+1-a_n=3^n-1，由此利用累加法能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n+1-a_n}是等比数列，且a₁=1，a₂=2，a₃=5，
∴数列{a_n+1-a_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}-{a}_{2}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{5-2}{2-1}$=3，
∴a_n+1-a_n=3^n-1，
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+3+3²+…+3^n-2
=1+$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．