Question

15．点M为椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点，则M到直线的距离x+2y-10=0最小值为（　　）

• A． $3\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 设出与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0求得m值，再由两点间的距离公式得答案．

解答 解：设与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，得25x²+18mx+9m²-144=0．
由（18m）²-100（9m²-144）=0，得576m²=14400，
解得m=±5．
当m=-5时，直线方程为x+2y-5=0，
此时两直线x+2y-10=0与直线x+2y-5=0的距离d=$\frac{|-10+5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
即椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点M到直线x+2y-10=0的距离的最小值为$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．