Question

5．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A菜．用a_n，b_n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，若a₁=300，则a₂₀=（　　）

• A． 260
• B． 280
• C． 300
• D． 320

Answer 1

分析 根据题意可得：设{a_n}为第n个星期一选A的人数，{b_n}为第n个星期一选B的人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，依题意有：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（500-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+150．a₁=300．（n≥2）．

解答 解：根据题意可得：设{a_n}为第n个星期一选A的人数，{b_n}为第n个星期一选B的人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，
依题意有：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（500-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+150．a₁=300．（n≥2）．
变形为：a_n-300=$\frac{1}{2}$（a_n-1-300）．
∴a_n-300=$\frac{1}{2}$（a_n-1-300）．
由a₁=300，可得a_n=300．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．