Question

17．已知函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{6}}）+sin（{x-\frac{π}{6}}）+cosx+a$的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f（x）=0成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得a的值．
（2）由题意求得sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，或x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，由此求得x的取值集合．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{6}}）+sin（{x-\frac{π}{6}}）+cosx+a$
=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx+a=2sinxcos$\frac{π}{6}$+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a的最大值为2+a=1，∴a=-1．
（2）由f（x）=0成立，可得2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1=0，
即sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即x=2kπ，或x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z
故x的取值的集合为{x|x=2kπ，或x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查两角和的三角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．