Question

13．在△ABC中，E为AC中点，D为BC靠近C的三等分点，记$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$．
（1）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}$；
（2）求BP：PE，并用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{CP}$．

Answer 1

分析 （1）利用向量加法的三角形法则运算；
（2）设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$，用$\overrightarrow{AB}，AC$表示出$\overrightarrow{AP}$，根据$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}$列出方程组即可求出λ和k，从而得出BP：PE，由$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$即可得出结论．

解答 解：（1）∵D为BC靠近C的三等分点，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$，
∵E为AC中点，∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．
（2设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$=-λ$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}λ$$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}λ$$\overrightarrow{b}$，
∵A，P，D三点共线，∴$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{1}{3}k}\\{\frac{1}{2}λ=\frac{2}{3}k}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{4}{5}$，k=$\frac{3}{5}$，
∴BP：PE=4，
$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．