Question

18．（1）已知M={2，（m²-2m）+（m²+m-2）i}，P={-1，2，4i}，若M∪P=P，求实数m的值．
（2）已知方程x²+4x+a=0（a∈R）的一个根为x₁=-2+i，求a的值和方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）先由M∪P=P，知M是P的子集，再依据集合中元素的互异性得复数（m²-2m）+（m²+m-2）i的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m．
（2）可以把根代入方程，化简即可求方程的另一个根及实数a的值．

解答 解：（1）由M∪P=P知M?P，∴（m²-2m）+（m²+m-2）i=-1（或4i）
当（m²-2m）+（m²+m-2）i=-1时，$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}-2m=-1}\\{{m^2}+m-2=0}\end{array}}\right.$，解得m=1；
当（m²-2m）+（m²+m-2）i=4i时，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m=0}\\{{m}^{2}+m-2=4}\end{array}\right.$解得m=2．
m=1或m=2．
（2）x₁=-2+i为方程x²+4x+a=0的一个根，∴（-2+i）²+4（-2+i）+a=0，解得a=5，
∴方程为x²+4x+5=0，解得：$x=\frac{{-4±\sqrt{4i}}}{2}=-2±i$，∴方程的另一个根为-2-i．

点评 本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，在解答的过程当中充分体现了方程虚根的求法，在实系数方程中，虚根必成对，且为共轭根，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题，