Question

8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且f（$\frac{π}{4}$）=0，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）是否存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（$\frac{π}{6}$）按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出x₀的值，若不存在，说明理由；
（3）求实数a，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2π）内恰有3个零点．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；
（2）根据x的范围，求出sinx₀+cos2x₀=1，继而求出sinx₀的值，即可判断，
（3）根据函数零点存在定理可得cos2x+asinx=0，再分类讨论即可求出答案

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos2x，
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的图象，
由诱导公式化简可得g（x）=sinx；
（2）当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），$\frac{1}{2}$＜sinx＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0＜cos2x＜$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，则g（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）＞f（x₀），
∴g（x₀）+f（x₀）=2f（$\frac{π}{6}$），
即sinx₀+cos2x₀=1，
化简得sinx₀=0或sinx₀=$\frac{1}{2}$与$\frac{1}{2}$＜sinx₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$矛盾，
所以不存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（$\frac{π}{6}$）按照某种顺序成等差数列．
（3）F（x）=f（x）+ag（x）=0，
即cos2x+asinx=0，
当sinx=0，显然不成立，
当sinx≠0时，a=-$\frac{cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，令t=sinx，则当x∈[0，2π]时，t∈[-1，1]，
由函数a=2t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，1]，以及t=sinx，x∈[0，2π]的图象可知，
当a=±1时，a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在[0，2π]内恰有3个零点．
综上所述，a=±1

点评 本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．