Question

已知函数，

( I )  若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围;

( II ) 若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且

         ，（，）

        证明：对任意的正整数n,当时，有.

Answer 1

（1）函数的定义域是　　　　　　　　　

因为所以有所以　　　(１分)

　　　　　(２分)

当时，恒成立，所以函数在上单调递减;　　　　 (３分)

当时，

若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即

因为所以  且时不恒为0.　　 (４分)

若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即

因为所以  

综上，函数在定义域内单调时的取值范围是　　　　(５分)

（2）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即所以

所以　　　　　(６分)

令　　　　　说明　此处可有多种构造函数的方法，通

所以　　　(７分)　　　　　　　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当是偶数时，因为所以　　　　　　　可参照答案所示　每种情况酌情赋２－３分

所以

所以即函数在单调递减

所以，即　　　　(９分)

当是奇数时，令则

所以函数在单调递减，所以　(１０分)

又因为时所以

所以即函数在单调递减　　(１１分)

所以，即

综上，对任意的正整数n,当时，有.(１２分)