Question

16．对于正整数k，记g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．给出下列四个结论：
①g（3）+g（4）=10；
②?m∈N^*，都有g（2m）=g（m）；
③S₁+S₂+S₃=30；
④S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．
则其中所有正确结论的序号为（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 根据已知中g（k）表示k的最大奇数因数，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵g（k）表示k的最大奇数因数，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．
∴①g（3）+g（4）=3+1=4≠10，故错误；
②?m∈N^*，都有g（2m）=g（m），故正确；
③S₁+S₂+S₃=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正确；
④当n≥2时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=$\frac{（1+{2}^{n}-1）×{2}^{n-1}}{2}$+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．故正确；
故选：B

点评 本题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，正确求数列的和是关键．