Question

8．设数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{a_n}{b_n}$（n∈N*），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若d_n=$\frac{{{T_{n+2}}-3}}{{2（{T_{n+1}}-3）}}$（n∈N*），求d_n的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式可得a_n．利用数列递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
（III）利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，且a₃=5，a₅=9，$d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{5-3}=2$，
∴a_n=a₃+（n-3）×2=2n-1．
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2，∴b_n+1+b_n+1-b_n=0，即2b_n+1=b_n．
∴b_n是等比数列，S₁+b₁=2，∴b₁=1，
∴${b_n}={b_1}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
（II）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{{\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}=（2n-1）×{2^{n-1}}$${T_n}=1×1+3×2+5×{2^2}+…+（2n-1）×{2^{n-1}}$--------------①
$2{T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-1）×{2^n}$--------------②
①-②得$-{T_n}=1+2×2+2×{2^2}+…+（2n-3）×{2^{n-1}}-（2n-1）×{2^n}$=1+2×（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ=1+2×2ⁿ-4-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3${T_n}=（2n-3）×{2^n}+3$，
（III）${d_n}=\frac{{{T_{n+2}}-3}}{{2（{T_{n+1}}-3）}}=\frac{{（2n+1）×{2^{n+2}}}}{{2×（2n-1）×{2^{n+1}}}}=\frac{2n+1}{2n-1}=1+\frac{2}{2n-1}$，
由数列$\left\{{\frac{2}{2n-1}}\right\}$是单调递减，所以当n=1时d_n最大值，最大值为3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．