Question

6．如图，已知二面角α-AB-β的大小为120°，PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足，C、D不在直线AB上，PC=PD=$\sqrt{3}$，有如下命题：
①直线AB与直线CD是异面直线；
②直线AB与直线CD垂直；
③∠CPD=60°；
④点P到直线AB的距离是2，
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 如图所示，设平面PCD与AB相交于点Q，连接CQ，QD．由于PC⊥α，PD⊥β，α∩β=AB．可得PC⊥AB，PD⊥AB，AB⊥CQ，AB⊥QD，于是∠CQD是二面角α-AB-β的平面角，大小为120°．即可判断出正误．

解答 解：如图所示，
设平面PCD与AB相交于点Q，连接CQ，QD．
∵PC⊥α，PD⊥β，α∩β=AB．
∴PC⊥AB，PD⊥AB，
∴AB⊥平面PCQD．
∴AB⊥CQ，AB⊥QD，
∴∠CQD是二面角α-AB-β的平面角，大小为120°．
因此：直线AB与直线CD是异面直线；直线AB与直线CD垂直；∠CPD=60°；由PC=PD=$\sqrt{3}$，可得点P到直线AB的距离是2．
其中正确命题的个数是4．
故选：D．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．