Question

16．方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不动点，且x₁=1000，x_n+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$，n=1，2，3，…，则x₂₀₁₅=2007．

Answer 1

分析 先根据$\frac{x}{a（x+2）}$=x转化为二次方程，再由函数f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不动点可求出a的值，然后代入确定函数f（x）的解析式，进而可得到x_n+1、x_n的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案．

解答 解：由$\frac{x}{a（x+2）}$=x得ax²+（2a-1）x=0．
因为f（x）有唯一不动点，
所以2a-1=0，即a=$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，
所以x_n+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$═x_n+$\frac{1}{2}$．
所以x₂₀₁₅=x₁+$\frac{1}{2}$×2014=1000+1007=2007．
故答案为：2007．

点评 本题主要考查函数不动点的知识、考查数列的函数性质以及等差数列的通项公式的表示法．