Question

10．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表：

分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	总计
频数				b
频率	a	0.25

（Ⅰ）求表中a，b的值及成绩在[90，110）范围内的个体数；
（Ⅱ）从样本中成绩在[100，130）内的个体中随机抽取4个个体，设其中成绩在[100，110）内的个体数为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（Ⅲ）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取3个，求其中恰好有1个成绩及格的概率（成绩在[90，150）内为及格）．
附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2 人，成绩在[110，130）范围内的有3人，由此能求出表中a，b的值及成绩在[90，110）范围内的个体数．
（Ⅱ）由茎叶图知成绩在[100，130）内的共有7人，其中成绩在[100，110）内的共有4人，于是X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．
（Ⅲ）该校高三期中考试数学及格率为p=1-0.1-0.25=0.65，设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，由此能求出恰好有1个成绩及格的概率．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2 人，
成绩在[110，130）范围内的有3人，
∴a=$\frac{2}{20}$=0.1，b=3，
成绩在[90，110）范围内的频率为：1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成绩在[90，110）范围内的样本数为20×0.4=8．
（Ⅱ）由茎叶图知成绩在[100，130）内的共有7人，其中成绩在[100，110）内的共有4人，
于是X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

EX=$1×\frac{4}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{12}{35}+4×\frac{1}{35}$=$\frac{16}{7}$．
（Ⅲ）该校高三期中考试数学及格率为p=1-0.1-0.25=0.65，
设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，则根据题设有：
P（A）=${C}_{3}^{1}×0.65×（1-0.65）^{2}$=0.238875．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．