Question

已知直线ax+by+c-1=0（b、c＞0）经过圆x²+y²-2y-5=0的圆心，则

4

b

+

1

c

的最小值是（　　）

• A、9
• B、8
• C、4
• D、2

Answer 1

分析：将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c=1，从而化简得

4

b

+

1

c

=

4c

b

+

b

c

+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b=

2

3

且c=

1

3

时，

4

b

+

1

c

的最小值为9．

解答：解：圆x²+y²-2y-5=0化成标准方程，得x²+（y-1）²=6，
∴圆x²+y²-2y-5=0的圆心为C（0，1），半径r=

6

．
∵直线ax+by+c-1=0经过圆心C，∴a×0+b×1+c-1=0，即b+c=1，
因此，

4

b

+

1

c

=（b+c）（

4

b

+

1

c

）=

4c

b

+

b

c

+5，
∵b、c＞0，∴

4c

b

+

b

c

≥2

4c b • b c

=4，当且仅当

4c

b

=

b

c

=2时等号成立．
由此可得当b=2c，即b=

2

3

且c=

1

3

时，

4

b

+

1

c

=

4c

b

+

b

c

+5的最小值为9．
故选：A

点评：本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c-1=0上，在b、c＞0的情况下求

4

b

+

1

c

的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．