Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A，B为椭圆上两点，直线AB与坐标轴不垂直．设T（x₀，0），若|AT|=|BT|，且|AB|=2，求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=2b²，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+m．把直线AB方程代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出x₀的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）经过点(1，

2

2

)，
∴

1

a2

+

1

2b2

=1，…（2分）
又由t=

2

2

，得a²=2b²，…（4分）
代入上式得a=

2

，b=1，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+m．
把直线AB方程代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴由韦达定理得x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
其中△=8（2k²+1-m²）＞0，（7分）
∵|AB|=2，∴|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

2 2 k2+1 2k2+1-m2

2k2+1

=2，
化简得m2=

2k2+1

2(k2+1)

 ．…（*）…（9分）
设AB中点为G（x_G，y_G），故xG=

x1+x2

2

=

-2km

2k2+1

，yG=

m

2k2+1

，
∵|AT|=|BT|，∴点T在线段AB的中垂线上，
故直线GT的方程为y-

m

2k2+1

=-

1

k

(x+

2km

2k2+1

)，
令y=0得x0=

-km

2k2+1

，即x02=

k2m2

(2k2+1)2

，（11分）
把（*）代入得x02=

k2

2(2k2+1)(k2+1)

=

1

2(2k2+ 1 k2 +3)

．…（13分）
又△=8（2k²+1-m²）=

4(2k2+1)2

k2+1

＞0恒成立，
即k∈R．
故x02≤

3-2 2

2

，即x₀∈[-

2- 2

2

，

2- 2

2

]．
∴x₀的取值范围为[-

2- 2

2

，

2- 2

2

]．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．