Question

某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．
（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；
（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意，先求出该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例，再求10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1，
∴10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=

C 3 8 C 0 2

C 3 10

=

7

15

，
P（ξ=1）=

C 2 8 C 1 2

C 3 10

=

7

15

，
P（ξ=2）=

C 2 8 C 2 2

C 3 10

=

1

15

，
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

∴Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

，
Dξ=(0-

3

5

)2×

7

15

+(1-

3

5

)2×

7

15

+(2-

3

5

)2×

1

15

=

28

75

．

点评：本题考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以应用意识，是中档题．