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已知函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x在x1、x2处分别取得极大值和极小值,记点M(x1,f(x1))N(x2,f(x2)).
(1)求x1,x2的值;
(2)证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.
解法一:∵函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x
在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),
f'(x)=x2-2x-3,
的两个根为x1,x2
由f'(x)=x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3(3分)
令f'(x)>0,x>3或x<-1,f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),f'(x)<0,-1<x<3,单调减区间为(-1,3)(5分)
所以函数f(x)在x1=-1.x2=3处取得极值.
(2)由(1)可知,M(-1,
5
3
).N(3,-9)
(7分)
所以直线MN的方程为y=-
8
3
x-1
(8分)
y=
1
3
x3-x2-3x
y=-
8
3
x-1
得x3-3x2-x+3=0,(9分)
令F(x)=x3-3x2-x+3,易得F(0)=3>0,F(2)=-3<0,(11分)
而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线,故F(x)在(0,2)内存在零点x0,这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点.(12分)
解法二:同解法一,可得直线MN的方程为y=-
8
3
x-1
(8分)
y=
1
3
x3-x2-3x
y=-
8
3
x-1
得x3-3x2-x+3=0(9分)
解得x1=-1,x2=1.x3=3,
x1=-1
y1=
5
3
x2=1
y2=-
11
3
x3=3
y3=-9
(11分)
所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,-
11
3
)
.(12分)
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(2)求阴影面积s关于t的函数y=s(t)的解析式;(3)若过点A(1,m),m≠4可作曲线y=s(t),t∈R的三条切线,求实数m的取值范围.

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3
2
,b=-9
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A.一个极大值,一个极小值
B.一个极大值,两个极小值
C.两个极大值,一个极小值
D.两个极大值,两个极小值

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(II)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.

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已知函数f(x)=
3x
+1,则
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值为(  )
A.-
1
3
B.
1
3
C.
2
3
D.0

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1
2
x2

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(Ⅱ)求证:存在x0∈(1,+∞),使g(x0)=g(
1
2
)

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