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已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c.
(Ⅰ)当c=0时,f(x)的图象在点(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;
(Ⅱ)当a=
3
2
,b=-9
时,f(x)在点A,B处有极值,O为坐标原点,若A,B,O三点共线,求c的值.
(Ⅰ)当c=0时,f(x)=x3-2ax2+bx.
则f'(x)=3x2-4ax+b
由于f(x)的图象在点(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,
可得f(1)=3,f'(1)=1,
3-4a+b=1
1-2a+b=3

解得
a=2
b=6.

(Ⅱ)当a=
3
2
,b=-9
时,f(x)=x3-3x2-9x+c.
所以f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)
令f'(x)=0,解得x1=3,x2=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表:
x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)5+c-27+c
所以当x=-1时,f(x)极大值=5+c;当x=3时,f(x)极小值=-27+c.
不妨设A(-1,5+c),B(3,-27+c)
因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB
5+c
-1
=
-27+c
3
,解得c=3.
故所求c值为3.
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