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已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e2-x在x=1处取得极值,且在点(2,f(2))处的切线方程为6x+y-27=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并指出f(x)在x=1处的极值是极大值还是极小值.
(1)f′(x)=(2ax+b)e2-x+(ax2+bx+c)e2-x(-1)=[-ax2+(2a-b)x+(b-c)]e2-x,…(4分)
由题意,
f′(1)=0
f′(2)=-6
f(2)=15
,即
[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0
[-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6
(4a+2b+c)e0=15

∴a=c=1,b=5;…(8分)
(2)由(1)知,f(x)=(x2+5x+1)e2-x,∴f′(x)=(-x2-3x+4)e2-x=-(x+4)(x-1)e2-x,…(10分)
令f′(x)>0,得-4<x<1,f′(x)<0,得x<-4或x>1,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-4,1),单调递减区间为(-∞,-4)和(1,+∞).…(13分)
由此可知,f(x)在x=1处的取值是极大值.…(14分)
练习册系列答案
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若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值为-
4
3

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.

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函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线倾斜角的余弦值为(  )
A.-
5
5
B.
5
5
C.
2
2
D.1

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lim
x→1
(
2
x2-1
-
1
x-1
)
=(  )
A.-1B.-
1
2
C.
1
2
D.1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知曲线y=
x2
4
-3lnx
的一条切线的斜率为
5
4
,则切点的横坐标为(  )
A.1B.-
3
2
C.4D.4或-
3
2

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点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数f(x)=-1+3x-x3有(  )
A.极小值为-2,极大值为0
B.极小值为-3,极大值为-1
C.极小值为-3,极大值为1
D.极小值为3,极大值为1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x在x1、x2处分别取得极大值和极小值,记点M(x1,f(x1))N(x2,f(x2)).
(1)求x1,x2的值;
(2)证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知向量
a
=(x,-1),
b
=(1,lnx),则f(x)=
a
b
的极小值为______.

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