Question

已知函数f（x）=（2-b）lnx+2bx+

1

x

（b∈R）．
（Ⅰ）当b＜0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当-3＜b＜-2时，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）b-2ln3成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）中对b分情况进行讨论，综合得出，
（Ⅱ）中由f（x）在[1，3]上单调递减，得出|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）=

2

3

-4b+（b-2）ln3，从而有

2

3

-4b+（b-2）ln3）＞（m+ln3）b-2ln3，解出即可．

解答： 解（Ⅰ）：由题意得：f′x）=

2-b

x

-

1

x2

+2b，
=

b(2x-1)(x+ 1 b )

x2

   （x＞0），
①当-2＜b＜0时，-

1

b

＞

1

2

，
令f′（x）＜0，得：0＜x＜

1

2

或x＞-

1

b

，
令f′（x）＞0，得：

1

2

＜x＜-

1

b

，
②当b=-2时，f（x）=-

(2x-1)2

x2

≤0，
③当b＜-2时，-

1

b

＜

1

2

，
令f′（x）＜0，得：0＜x＜

1

b

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0，得：-

1

b

＜x＜

1

2

．
综上所述：
当-2＜b＜0时，
f（x）在（0，

1

2

）∪（-

1

b

，+∞）上单调递减，在（

1

2

，-

1

b

）单调递增．
当b＜-2时，
f（x）在（0，-

1

b

）∪（

1

2

，+∞）上单调递减，在（-

1

b

，

1

2

）单调递增．
当b=-2时，
f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可得：当-3＜b＜-2时，f（x）在[1，3]上单调递减，
f（x）_max=f（1）=2b+1，
f（x）_min=F（3）=（2-b）ln3+

1

3

+6b，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）
=

2

3

-4b+（b-2）ln3，
∵?λ₁，λ₂∈[1，3]，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）b-2ln3成立，
∴

2

3

-4b+（b-2）ln3）＞（m+ln3）b-2ln3，
整理得：mb＜

2

3

-4b．
又b＜0，∴m＞

2

3b

-4，
又∵-3＜b＜-2，得-

1

3

＜

2

3b

＜-

2

9

，
∴-

13

3

＜

2

3b

-4＜-

38

9

，
∴m≥-

38

9

．

点评：本题属于利用导数研究函数的单调性问题，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式成立时所取的条件．