Question

【题目】过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中 ，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.

（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；

（Ⅱ）求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的方程为；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；

（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.

（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由

可求.

（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.

当不与轴垂直时，

设，，的方程为（）.

由消去，整理得.

则，.

由已知，，

则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.

由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.

把，代入到中，

=.

即，即..