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    已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.

    (I)求椭圆C的标准方程；
    (II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为.
    ①求四边形APBQ面积的最大值；
    ②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由．

    （1）
    （2）故当，的值为常数0.

    解析试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 .      1分
    由已知b= 离心率 ,得
    所以，椭圆C的方程为.    4分
    （Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为 ，，则， 5分
    设AB(),直线AB的方程为，代人
    得：.
    由△>0,解得，由根与系数的关系得        7分
    四边形APBQ的面积
    故当  …②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率
    则   10分
    =
    =，由①知
    可得
    所以的值为常数0.      13分
    考点：直线与椭圆的位置关系
    点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.
    （Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
    （Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.
    ①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；
    ②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设椭圆的焦点在轴上
    （Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.
    （Ⅰ）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；
    （Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.

    （1）求椭圆C的方程;
    （2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l, F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

    （I）当直线过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
    （II）当点P异于点B时，求证：为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线:上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
    （Ⅰ）求抛物线的方程；
    （Ⅱ）设直线与抛物线交于不同两点，若满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．
    （Ⅲ）试把问题（Ⅱ）的结论推广到任意抛物线:中，请写出结论，不用证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．
    ⑴求椭圆的方程；
    ⑵设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线有公共点时，求△面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设是椭圆的左焦点，直线方程为，直线与轴交于点，、分别为椭圆的左右顶点，已知，且．
    (Ⅰ)求椭圆的标准方程；
    (Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求三角形面积．

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