Question

16．设函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）求不等式|f（x）-2|≤7的解集；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x+1）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式|f（x）-2|≤7，可得-5≤2x+1≤9，由此求得它的解集；
（2）由题意可得|2x+1|+|2x-1|+m≠0 恒成立．利用绝对值三角不等式可得|2x+1|+|2x-1|≥2，可得m的范围．

解答 解：（1）由不等式|f（x）-2|≤7，
可得-7≤f（x）-2≤7，-5≤f（x）≤9，
即|2x-1|≤9，即-4≤x≤5，
故不等式|f（x）-2|≤7的解集为[-4，5]．
（2）g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x+1）+m}$=$\frac{1}{|2x-1|+|2x+1|+m}$的定义域为R，
可得|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立．
∵|2x-1|+|2x+1|≥|（2x-1）-（2x+1）|=2，
∴m＞-2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．