Question

设函数f（x）=ln（2x+3）+x²．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，然后求解函数的导数，通过导函数大于0，小于0，即可判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）通过f（x）在区间[0，1]上的单调性，直接求解函数的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-

3

2

，+∞)…（1分）
f′(x)=

2

2x+3

+2x=

4(x+1)(x+ 1 2 )

2x+3

，…（4分）
当f'（x）＞0时，解得-

3

2

＜x＜-1或x＞-

1

2

；…（5分）
当f'（x）＜0时，解得-1＜x＜-

1

2

…（6分）
所以函数f（x）在(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)上是增函数，在(-1，-

1

2

)上是减函数…（8分）
（Ⅱ）因为f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f（x）_max=f（1）=ln5+1，
f（x）_min=f（0）=ln3…（12分）

点评：本题考查函数的单调性的判断函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．