【题目】已知函数,.
(1)若恒成立,求a的取值范围;
(2)当时,函数的图像与直线是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由;
(3)当时,有且,求证:.
【答案】(1);(2)有公共点,公共点为;(3)证明见解析.
【解析】
(1)利用分离常数法,结合导数,求得的取值范围.
(2)由构造函数,利用导数研究的零点,由此判断出函数的图像与直线有公共点,并求得公共点.
(3)当时,求得的极值点,构造函数,利用导数研究的单调性,结合,确定的大小关系,进而证得不等式成立.
依题意,的定义域为.
(1)由于恒成立,即恒成立,即恒成立.
令,,
所以,
即在区间上递减,在上递增,
所以的最小值为,
所以.
(2)当时,,令,
构造函数,
,
所以当时,,递增,当时,,递减.
所以在时取得极小值也即是最小值,所以有唯一零点,所以方程有唯一解,故函数的图像与直线有公共点.
(3)当时,,,
所以当时,,递减;当时,,递增.所以当时,取得极小值也即是最小值.
依题意且,不妨设.
构造函数,
则,
,
所以在区间上递减,而,
所以时,,即;
当时,,即
由于,所以.
,
即,由于在上递增,所以.
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【题目】已知椭圆左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线l:与椭圆交于A,C两点,与y轴交于点P,以线段AC为对角线作正方形ABCD,若.
()求椭圆方程;
()若点E在直线MN上,且满足,求使得最长时,直线AC的方程.
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【题目】某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.( )
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是
A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 ℃的月份有4个
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【题目】有2008名学生参加大型公益活动.若有两名学生互相认识,则将这两名学生看作一个合作小组.
(1)求合作小组数目的最小值,使得无论学生认识的情况如何,都存在三名学生,他们两两都在一个合作小组;
(2)若合作小组数目为,证明:存在四名学生、、、,使得和、和、和、和分别为一个合作小组.
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【题目】任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为素数作出判断.算法:第一步:判断n是否等于2.若______,则_______;若______,则执行第二步;第二步:依次从_______是不是n的因数,若有_________,则n不是_________数;若_______,则n____________.
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【题目】全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分(满分100分),得到了如下的频率分布直方图:
(1)求这4000人的“运动参与度”的平均得分(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布,其中,分别取平均得分和方差,那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况,现从全市随机抽取4人,记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为,求.(精确到0.001)
附:①,;②,则,;③.
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