Question

16．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若sinx=$\frac{4}{5}$，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的值域和对称轴．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x∈[$\frac{π}{2}$，π]时sinx的值求出f（x）的值；
（2）根据f（x）的解析式求出x∈[$\frac{π}{2}$，π]时的值域，求出f（x）在x∈[$\frac{π}{2}$，π]内对称轴是x=$\frac{2π}{3}$．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx
=2sinxcos$\frac{π}{6}$+2cosxsin$\frac{π}{6}$-2cosx
=$\sqrt{3}$sinx-cosx
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，且sinx=$\frac{4}{5}$，
∴cosx=-$\sqrt{1{-sin}^{2}x}$=-$\frac{3}{5}$；
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx
=$\sqrt{3}$×$\frac{4}{5}$-（-$\frac{3}{5}$）
=$\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$；
（2）由函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）在x∈[$\frac{π}{2}$，π]的值域是[1，2]；
且f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）对称轴是x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴对称轴是x=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．