Question

7．已知椭圆的左焦点为F₁，有一小球A从F₁处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F₁时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得4a=10（a-c），由此即可求得椭圆的离心率．

解答 解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
（1）球从F₁沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F₁路程是2（a-c）；
（2 ）球从F₁沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F₁路程是2（a+c）；
（3）球从F₁沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F₂，再弹到椭圆上一点B，经F₁反弹后经过点F₁，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点F₁沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F₁时，小球经过的最大路程是4a最小路程是2（a-c）．
∴由题意可得4a=10（a-c），即6a=10c，得$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$．
∴椭圆的离心率为$\frac{3}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，明确椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点是关键，是基础题．